在翻开课本之前，我并不知道它们叫做什么。
我不知道那个只有一个面的纸环，不知道某个函数在一点上的倾斜程度，不知道一块物体中那个不动的中心，也不知道遥远的星光和时间之间究竟有什么关系。
于是我开始自己猜。
有时猜对了，有时猜错了。有时绕了很远的路，最后才发现课本上的答案就在路的尽头；有时只是凭着模糊的直觉，摸到了某个理论的边缘。
后来我翻开课本，才知道那些东西都有名字。
这篇文章想记录的，不是那些名字，而是名字出现以前的过程。
因为我越来越觉得，真正让我感兴趣的，并不是“答案是什么”，而是：
如果没有人告诉我答案，我会怎样自己走到那里？
# 数学篇
一、莫比乌斯环
很小就听说过莫比乌斯环，但从没见过图案或实体。
它怎么可能只有一个面呢？
小学时期，我想到莫比乌斯也是一个纸环，说不定可以用纸条做出来。
在一次偶然的尝试中，我发现把纸条一端扭转 180 度再粘上，外面转一圈就进入了里面，里面转一圈就回到了外面——这就是我想要的莫比乌斯环。
二、圆锥体积
初中学到圆柱和圆锥。
我最开始认为圆锥的体积之于圆柱，就像是同底的三角形面积之于正方形。
因为他们的体积/面积都取决于高和底面，尖端一点可以在顶面/顶边上随便移动而不影响体积/面积。这一点非常相似。
答案理所当然是1/2。
结果上课时数学老师当众宣布是1/3。
这超出了我的直觉。我必须自己算一遍才能心安。
最开始我想着把圆锥看做射线的轨迹，在空间中被框定了角度，就像是手电筒的光。结果发现：每一条射线靠近尖端的部分太紧了，会被重复计算，而底端又太松，会被少算。
接着我又想到计算圆柱-圆锥的体积。结果发现还是算不出来。
最后，我把圆锥横着切成无数个圆，每个圆半径从 0 到底面半径。
把圆柱也切成无限个圆，不同之处在于圆柱的圆一开始就是最大的面积。
把它们画到纸上：圆锥被切成无数圆片，每个圆片立起来，就是一个小圆柱——圆片的半径从尖顶的 0，长到底面的 R。圆柱也一样切成无数片，但每一片的半径都是 R。
它们的总面积之比就是1/3。答案我知道，老师说了，但是它是怎么算出来的？
当圆柱越来越多，我发现圆柱的顶面可以连成一条 $y = x^2$ 的弧线。这条弧线下方的面积我涂黑了，它比于整个长方形的面积，应该就是1/3。
有一小部分面积会被多算或者少算，但是它们暂时不重要。
我还是不会算。
用n表示圆柱的数量。我想着，$1^2+2^2+3^2\cdots$ 应该会有一些规律，把这套规律放到无限大，或许会更加接近答案。
我算到10的平方也没发现平方和的规律。于是我问了老师，老师查了平方和公式。
那些低次的杂项，就是那一小部分被多算或者少算的面积。而最高次项正是我要的。把n趋于正无穷，最后我们要算的就是：
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \over n^3$$
最终算出来1/3。
后来我知道这叫微积分。
三、斜率计算
当时我没学过 log，也不知道 e 是什么。
但我知道斜率。一个函数每一点的斜率都各不相同。
对于一个确定的函数，每一点的斜率应该都是固定的。毕竟图像是唯一的。
虽然还不清楚计算的方法，但隐约能感觉到它一定存在。
那就试试吧。
在开始计算前 我首先利用了一个显而易见的结论:
一个函数的斜率等于它每一项的斜率之和。
$ax^3+bx^2$ 的斜率，就是分开算斜率再加起来。如此一来，我便无需采用标准的 $k_1x^n + k_2x^{n-1} + \cdots + k_n$ 的形式，只需要计算最高项就可以了。
我计算的方法如下:令n无限小。则 $x$ 点的斜率 $= [f(x+n)-f(x)]/n$，当然 $f(x)$ 减 $f(x-n)$ 也行，答案算出来应该是一样的。
后来我知道，这就是导数的定义。
不过当时压根没考虑任何断点或者特殊的函数，以及定义域等规章，仅限于普通的连续曲线，所以没考虑那么多
一次函数 $kx$ 的斜率是固定的 $k$，二次函数 $kx^2$ 的斜率则是 $2kx$。
原本代数可以直接给我答案，但我很讨厌代数复杂的计算。
所以接下来我用计算器替代了我的工作:
无穷小的数就用0.0001来算，而k和x随便取个整数——但是要取得差很多，我当时还不知道结论。但把x和k设置得差很多就能看出来它们对于结果的影响力如何。例如k取3，x取10000。
很快，三次，四次函数也被我算出来了
得出结论的那一刻，我真觉得自己是天才。
最后得出了一套"已知函数方程，求某点斜率"的方法——就是幂法则（系数乘次数、降次）。不过只能求多次函数。有些函数，例如幂函数还是求不来。
## 四、概率论
学概率与统计时，用了一套方法。假设袋子里有 n 个黑球 m 个白球，拿走 a 个球，再放入 b 个红球……经过一系列操作，按正常方法计算最后袋内的概率，非常麻烦，需要很多步骤大量计算
然而，只要认为拿走的球不是固定的一整个，而是一部分概率，例如1/3个球，半个球——这题就变成了简单的小学数学加减乘除。
又比如:关于“生男孩就不再生，生女孩就继续生”的数学概率计算问题，直接看做每次生下1/2个男孩和1/2个女孩，就能得到显而易见的结论——无论策略如何，只要生男生女的概率是一比一，那么结果也是。
而这其中的智慧则来自于后面要讲到的物理量子力学。
物理篇
五、物理直觉
在完全没接触过物理的时候，我就理解了力的平行四边形法则。
在我眼里它原本就是可以拆分重组的向量。
虽然向量这个词我没接触过。
看图就知道:分力之比就是三角形三边的比，尽管还完全不知道sin和cos是什么。
显然运动也是可以拆分的，因为空间位移是相对的。我在学动量守恒之前，就已经理解了一个更底层的图像：质心。
一个人60kg，站在一条120kg的船上。人和船都在平静水面，无外力作用。人往前跳，速度4m/s，那船往后的速度是多少？
那时我还不知道质心和动量守恒，但这道题，我已经能凭自己的方式算出来。
把人船看做整体，一定存在一个质量的几何加权中心，只要不受到外力，它一定是不动的。
质心不是一个名词，而是一个概念。我从来没有学会它，而是从物理书上认领了它。
六、相对论
远处即过去，越远越久远。空间转时间，汇率是光速。
光速无限，同时存在，瞬间消亡。
相对论重构了我的世界观。
我并没有学什么深奥晦涩的知识，只是从高中物理的课本中管中窥豹。但这还是引起了我极大的好奇。
尺缩效应，火车站台的同时与非同时，钟表变快，光速不变。这么多反直觉的规律，就像是为了把世界本质强行与我们眼中世界所匹配而修订的补丁。
我们不如抛开最开始的固有认知，直接从底层重新理解世界。
光锥
躺在星空下，我们看到的闪光不是远处，而是过去。
那么我们看到的一切都是过去。此时此刻我打着字的电脑屏幕是过去，走在路上打招呼的同学是过去，月亮是几分钟前的过去。
不同距离只有量的区别，没有性质的区别。
远处即过去。
越远的星星，光所走的路程越远，而此刻我们看到的光就代表越久远的过去。
越远越久远。
我小时候看过杂志上的超新星爆发。那是宇宙中最绚丽的烟花，也是星体的死亡与涅槃。我们看到的星星，也许在那里已经爆发了，只不过光还没传播到我们这里。
假设一颗星星离我们200光年。100年前爆发，100年后光才到我们这里。我们应该认定它“100年前就爆发了”，还是“100年后才爆发”？
在光来临前，一切都是不可知的，因此我想的，就是不再认定它是100年前爆发的，而是直接认为：它在100年后才爆发。
光是宇宙中最快的，这也是信息和事实传播的速度。
以时间为横轴，空间为纵轴，事件就像是一个无限高的圆锥，圆锥内的世界中，这件事情才是事实，世界才受到影响。圆锥之外，就是这件事情无论如何都影响不到的领域——那就是远处，也就是过去。
而光速就是这个圆锥底面半径与高的比，也就是时间与空间的汇率。
空间转时间，汇率是光速。
我没听过光锥这个词。第一次看到它时，却觉得它和我之前想的东西几乎重合。
光速
光速不是速度，而是固有性质。
光速虽然有一个固定的值，但是它与一般物体的运动有着天壤之别，光速不变就是最好的证明。
我们不能站在牛顿力学的角度看待它。否则就必须加上那些反直觉的补丁，让物理学变得丑陋。
但如果换一个角度呢？
我们站在光自己的角度来看，它存在的时间是0。
也就是说，光并不是一趟列车，慢悠悠地从宇宙间驶过。
它是一根弦，速度无限，或者说根本没有速度这个概念。
它同时出现在路径的任何一个地方，然后瞬间消亡。
“光有速度”，那是生活在宏观低速的人类站在自己视角得出的结论。
双胞胎悖论
一对兄弟年龄一样，哥哥待在地球上，弟弟坐上接近光速的飞船去宇宙环游一圈再回来，结果相见时弟弟更加年轻。
悖论在于，运动是相对的。站在地球的视角，飞船出去超高速环游了一圈，但是站在飞船的视角，地球也是出去超高速环游了一圈。这应该是对称的，那飞船和地球的区别在哪里，以至于弟弟年轻很多？
当时物理老师也给不出一个确切的回答。后来我查询资料得知，地球是惯性系，而飞船不是。飞船经历了加速减速的过程，其中的弟弟也能感觉到如同刹车一样的超载感。但地球上的哥哥从来没感觉到加速。（虽然地球也有绕太阳的加速度，但很小）
加速决定了飞船不是一个惯性参考系。
播放器
时间是同时存在的。时间本身不存在流动的概念。那为什么我们可以在任何维度中自由移动，唯独无法跨越时间呢？
意识和记忆只会跟着熵增的方向走，所以主观体验到的世界就是时间永远流动。
就像视频，每一秒都存在文件里，可以正放，也可以倒放。但播放器默认的播放模式永远是正放。
前面说到光的方向，就是时间行进的方向在空间的投影。
但这里又产生了悖论。播放器中视频的结局只有一个，然而世界并不是由因即果的。爱因斯坦说：上帝不掷骰子，但这句话已经被证明是错误的：世界的随机性客观存在。
那么，世界只有一个结局，或是世界有多个结局，到底哪个才是对的？
答案是——它们是一个东西。在我们的视角没有任何区别，我们无法通过实验或者任何方式去判定或者分辨。
再去追问事实，我们只能得出事实不存在的结论。"超出现象的事实"这个概念没有意义。
上帝视角不存在，所以世界就是它表现出来的样子。
能量，质量与力的未解之谜
能量的本质
能量究竟是客观的存在，还是科学家用于衡量“势”或状态所造出来的工具？
我最开始的疑问是：小行星以某个速度撞击地球，势能转化成动能，相撞前越来越快，撞击时动能转化成内能声能等等逸散。这一步没有任何问题。
但是动能和势能应该按照小行星的质量算还是地球的质量算？不同参考系下能量不一样。
所以能量到底是客观存在的值，还是人为定义的标尺？
我现在也不知道。
质量是弯曲的时空
质量是“产生引力能力的强弱”，还是“惯性的大小”？
而它们又有千丝万缕的联系。
力是趋势的模型
力不像是客观存在，而是一种趋势。力的强弱就是趋势的大小。
球滚下山，并不是因为重力拉扯着球——这只是我们建立的模型。而是因为山是斜的，而重力给予物体向下的趋势。
气体扩散渗透，不是力在拉，而是熵增前提下概率的趋势
所谓力，是趋势在环境中的具现。
七、量子力学
直觉的进化
学量子理论时（高中书上带过），它最初跟我的直觉完全相悖。世界突然成为了我无法理解的东西。
但接触了一些理论后，我开始以更底层的视角看待一切。
牛顿力学是特殊情况，因为我们平时只能生活在这个世界中，我的直觉被锁死在了牛顿的宏观低速里
但这些理论告诉我世界并不是我想的那样。它们说世界的底层是概率和信息，而非坚硬的实心原子小球互相碰撞。
于是我看待这个世界的逻辑改变了。这不是公式的记忆，而是直觉的进化
世界基于概率，而概率基于已知信息，所以世界基于已知信息
概率是主观的，所以世界也是主观的。
死猫活猫：观测的定义
我很着迷于薛定谔的猫。我想用直觉理解它，而不只是记住结论。
猫实际上肯定要么死要么活，怎么可能半死半活呢？
悖论在于：微观粒子表现出不确定性。但是微观粒子所构成的宏观事物却是确定的。
确认事实的过程被称为“观测”。这个词让我感到很奇怪。所以我最开始想的问题是——到底什么是观测，如何定义观测？
这个想法困扰了我很久。我完全无法理解观测是什么，为什么它竟有如此魔力，可以改变猫的生死。难道世界真的是唯心主义吗？
测不准的唯心主义
我一直在想：如果一个东西要被另一个东西知道，那么它们之间就必须发生某种联系；而所谓“观测”，是不是本身就是一种影响？
直到我看到了测不准原理：一个东西被观测的同时，必然被影响。所以我们无法获取绝对客观的状态。
那一刻，我对自己得出的结论有了近乎绝对的确信:
a 影响到 b，即是 b 观测 a。
它们就如力和反作用力，没有先后顺序，而是一体两面。
原理很简单：a对b的影响，被记录在了b的状态中。正如我们可以从逸散的灰烬中推测出火，因为灰烬记录了火的信息。
按照这个道理，世界万物，每一个分子都会互相观测，互相影响。在无限的概率相乘中，世界也以极大的概率被确定下来。
也就是说，假设猫活着，呼出的气流、内脏颤动对环境产生的影响，以及轻微的移动，都是环境对猫的观测，从而让世界确认猫的存活；
反之，如果猫死了，体温下降、尸体腐烂、气味扩散，同样是环境对猫的观测，从而让世界确认猫的死亡。
虽然人不知道猫的死活，但"这个世界"知道猫处于哪个确定的状态——无论生死，环境都在持续记录。
每一个物体的唯心，构成了整体世界的唯物。
概率之外
前面说“世界也以极大的概率被确定下来”。
而不确定的世界依然存在。
假设一枚硬币静静地躺在桌面上，下一个时刻突然瞬移到地板上——这并非完全的不可能，只要每一个原子的概率云正好随机选中那里，只不过概率小得无法想象。
“一切皆有可能”不仅仅是一句哲思，更是物理上的事实。
缸中脑与色盲悖论
我认为：如果无法区分两个东西，它们对来说没有任何区别，包括未来也没有区分的可能，那他们本质上就是一个东西。
例如缸中脑悖论，根本不用和现实世界区分，因为他们原本就是不可区分的。
我们看到一个东西这个事实，只能推导出——我们的大脑接收到了信息。至于信息的来源是虚假的脑电波还是真实的物体，并不重要，没有区别。
这实际上是莱布尼茨的“不可区分者同一性原理”：如果两个事物在所有可观察的属性、所有的逻辑推演和未来的任何可能发展中都完全不可区分，那么它们在本体论（本质）上就是同一个东西
世界基于概率，而概率基于已知信息，所以世界基于已知信息
概率是主观的，所以世界也是主观的
终极思想实验
假设有一个集成了超高量神经元的仿生机器人。
他有自己的记忆和社交关系。任何朋友都不知道他是机器人。
他和人唯一的区别是：1.他没有主观意识。
2.他真的没有主观意识吗？我们如何判断主观意识的存在？
3.如果无法判断，那对不知道他是机器人的朋友而言，他和真人有什么区别？
我的直觉认为：意识是在神经元达到一定复杂度之后自然涌现的。
现在科学已经可以在计算机中模拟果蝇，构建完整的神经元，从分子层面重现。而计算机里的果蝇和现实中的表现出完全一样的行为。
那人呢？
# 决策篇
八、警惕率模型
高犯罪率街区的商店老板
想象你是一个开在美国犯罪率较高街区的商店老板，独自守店。
这个街区不太平——抢劫、偷窃是真实存在的概率，不是新闻里的遥远事件。你可能自己遭遇过，也可能听过隔壁店被抢的消息。所以每个推开店门的顾客，你都会下意识地评估：这个人会不会是来犯罪的？
于是你面临一个选择：对每个顾客，保持多高的警惕？
- 警惕高：紧紧盯着他的一举一动，手随时准备伸向柜台下备好的枪。
- 好处：如果这个人真是来犯罪的，你反应更快、损失更小，甚至能把他吓退。坏处：他会不舒服——被盯防的顾客会感到不被信任，下次可能就不来了，口碑传开，收益下降。
- 警惕低：放松、友好、像对待任何客人一样。
- 好处：顾客体验好，回头客多，收益稳定。坏处：如果真出事了，你反应慢半拍，损失更大。
犯罪是概率事件——你不能假设它一定会来，也不能假设它永远不会来。每个顾客，你都要在"准备程度"和"信任成本"之间取一个平衡。那么，警惕到底该定在什么水平？
我给出的结论是:最优的警惕值，就是当你增加或减少一单位警惕值时，获取的收益和付出的成本一样。这实际上就是导数里的极值。
## 九、主观效用函数
所有人都是自私的——所有人都只做收益大于成本的事情。
这里的自私并不带道德上的贬义，而是一个中立的客观表述。
我想到有人会反驳:母亲照顾婴儿不是非常无私吗？心理问题者自残，哪里有收益？和尚戒色不是故意违反人体的欲望吗？
而这正是我想表达的:
- 母亲照料婴儿 → 照料给她带来的心理收益 > 劳累的损失
- 心理问题者自残 → 病态心理的满足感 > 肉体的疼痛
- 和尚戒色 → 戒色带来的心理安宁 > 色欲的满足感
所有人都在最大化自己的主观效用函数
母亲不是"牺牲"，是她的效用函数里婴儿的快乐权重极高；自残者不是"不理性"，是疾病扭曲了他的效用函数；和尚不是"压抑"，是戒律的安宁在他的函数里权重更高。
终
我有时会沿着直觉走到某个结构面前，然后在某一天翻开课本，才发现它原来早已有了名字。
而我现在记下的，是它们还没有名字的时候。